1. Основні поняття кінематики

Зміна положення одного тіла відносно іншого з плином часу називають механічним рухом.

Тіло, щодо якого спостерігається рух, називають тілом відліку. Механічний рух є зміна положення тіла відносно тіла відліку. Щоб спостерігати, як змінюється положення тіла з плином часу, з тілом відліку пов'язують систему ліній (систему координат); потрібно мати ще годинник, що показує час, який минув з моменту їх пуску. Тіло відліку зі пов'язаної з ним системою координат і годинами називають системою відліку.

Лінію, в кожній точці якої послідовно побувала рухається точка, називають траєкторією. Вона має різний вигляд в різних системах відліку.

Щоб описати рух тіла, треба знати рух кожної його точки. У загальному випадку всі крапки тіла рухаються по-різному. Однак трапляються випадки, коли досить простежити за рухом всього лише однієї точки тіла, наприклад, при вивченні рухів тіл, розміри яких малі в порівнянні з відстанню між ними або коли траєкторія руху будь-якої точки тіла являє собою точну копію траєкторії будь-який інший точки тіла, тільки зрушену на якусь відстань в просторі. Якщо при цьому відстані між точками тіла не змінюються (таке тіло називається абсолютно твердим), то говорять, що тіло здійснює поступальний рух. При поступальному русі тіла будь-які дві його точки можна подумки з'єднати відрізком, і при русі тіла цей відрізок буде переміщатися паралельно самому собі і зберігати незмінну довжину.

Крім поступального руху, тверде тіло може здійснювати і інший рух - обертальний. При обертальному русі (щодо будь-якої системи відліку) траєкторії всіх точок тіла є кола (або частини кіл), що лежать в паралельних площинах, причому центри всіх кіл знаходяться на деякій одній лінії, яка називається віссю обертання. Вісь обертання не обов'язково повинна проходити всередині тіла.

Положення точки в просторі задається радіус-вектором r (далі вектори ми будемо позначати жирним шрифтом, величини векторів звичайним) - вектором, проведеним з початку координат в ту точку простору, де в даний момент часу знаходиться рухома точка. При русі При русі точки кінець радіус-вектора описує траєкторію руху, довжина траєкторії між початковим і кінцевим положеннями називається пройденим шляхом.

Вектор Δ r = r - ro, проведений з початкової точки траєкторії в кінцеву, називається переміщенням точки (грецька буква Δ читається дельта "і означає у нас" зміна "). Очевидно, що шлях не менше величини переміщення

Нехай за проміжок часу Δt = t - tо переміщення рухається точки одно Δ r. Ставлення Δ r / Δt характеризує швидкість руху точки на цій ділянці руху або за цей проміжок часу. Це вектор, величина якого дорівнює відношенню величини переміщення до величини проміжку часу, протягом якого відбулося це переміщення і який спрямований так само, як і вектор Δ r, оскільки Δt = t - tо> 0. Це відношення називають середньою швидкістю руху точки:

Vср = Δ r / Δt

Знання середньої швидкості явно недостатньо для докладного опису руху. По-перше, якщо, наприклад, точка, зробивши який-небудь рух, повернеться у вихідне місце, то вектор середньої швидкості руху, за визначенням, буде дорівнює нулю. Тому вводять поняття середньої траєкторної швидкості (іноді її теж називають середньою швидкістю), що дорівнює відношенню пройденого шляху S до проміжку часу Δt:

Vср.тр. = S / Δt

Так як пройдений шлях S - скалярна неотрицательная величина, то і середня траекторная швидкість - скаляр.

По-друге, якщо, наприклад, два автомобілі виїхали одночасно з одного і того ж пункту і в один і той же момент часу досягли кінцевого пункту, але один рухався безупинно, а інший - із зупинками, то, незважаючи на різний характер руху, середня швидкість автомобілів (а, якщо автомобілі рухалися по одній і тій же траєкторії, то і середня траекторная швидкість) буде одна і та ж, оскільки однакові переміщення Δ r і однакові проміжки временіΔt.

Тому для знання докладної картини руху потрібно знати швидкість руху в кожній точці траєкторії. Для обчислення миттєвої швидкості руху в даній точці траєкторії (або в даний момент часу) треба обчислити відношення досить малого переміщення з цієї точки до відповідного малому проміжку часу, протягом якого відбулося це переміщення (в межі - нескінченно малому):

V = lim Δ r / Δt при Δt ® 0

Математично це означає, що миттєва швидкість є похідна радіус-вектора за часом.

У загальному випадку, при русі може змінюватися як величина миттєвої швидкості, так і її напрямок. Якщо величина миттєвої швидкості в усіх точках траєкторії одна і та ж, то такий рух називається рівномірним. Якщо не змінюється напрямок швидкості - то такий рух буде прямолінійним. При рівномірному русі за будь-які рівні проміжки часу Δt рухається точка проходить рівні шляхи S, тобто середня траекторная швидкість руху однакова протягом будь-якого проміжку часу Δt.

Додавання швидкостей. Швидкість точки завжди задається щодо будь-якої системи відліку. Наприклад, катер щодо поточної води річки рухається з однією швидкістю, а щодо берега річки - з іншого. Як пов'язані ці швидкості? Можна міркувати так: з точки зору спостерігача, що знаходиться на березі, катер бере участь одночасно в двох рухах - по-перше, рухається разом з проточною водою зі швидкістю течії річки V теч, а по-друге, за рахунок роботи двигунів рухається щодо води зі швидкістю V отн. Тому швидкість катера V щодо берега буде складатися (векторно!) З цих двох швидкостей:

V = V теч + V отн

Узагальнюючи цей закон, можна написати:

V1 = V 2 + V 1, 2

Тут V 1 і V 2 - швидкості, відповідно, першого і другого тіл відносно будь-якого спостерігача, системи відліку. V 1, 2 - швидкість першого тіла щодо спостерігача, пов'язаного з другим тілом (швидкість, з якою перше тіло рухається відносно другого тіла).

Між іншим, це означає, що відносна швидкість V 1, 2 може бути просто обчислена як

V1, 2 = V 1 - V 2

Завдання 1.

Першу половину часу автомобіль проїхав зі швидкістю 40 км / год, а другу половину часу - зі швидкістю 60 км / ч. Яка середня траекторная швидкість автомобіля за весь проміжок часу?

Завдання 2.

Першу половину шляху автомобіль проїхав зі швидкістю 40 км / год, а другу половину шляху - зі швидкістю 60 км / ч. Яка середня траекторная швидкість автомобіля на всьому шляху?

Завдання 3.

Хлопчик може плисти зі швидкістю, що не більше ніж 1 м / с. Він стартує на одному березі річки, ширина якої 100 м, а швидкість течії води 2 м / с. На якій відстані від точки старту знаходиться та найближча точка на протилежному березі, до якої може доплисти хлопчик?

Відповідь: 200 м.

Завдання 4.

(Додаткова)

Заєць біжить по прямій з постійною швидкістю 10 м / с. Швидкість лисиці становить 20 м / с, лисиця в кожен момент часу біжить точно в ту точку, де знаходиться в цей же самий момент часу заєць (це не самий розумний для лисиці варіант, але вона нічого в кінематиці не розуміє). У початковий момент відстань між лисицею і зайцем становить 300 м, а напрямок руху зайця перпендикулярно відрізку, який в цей момент з'єднує його з лисицею. Через якийсь час лисиця його наздожене? Через якийсь час вона могла б наздогнати зайця, якби бігла найкращим способом?

Демонстрація: >>

Примітка: підказка вдає із себе демонстрашку написану на мові Delphi (так званий об'єкт ActiveX). Поки існують деякі труднощі з використанням таких об'єктів в Інтернеті. По-перше, він досить великий, тому вантажиться довго. По-друге, їх не визнає Netscape Бразер, а в MS Internet Explorer перемикач в меню "Вид / Властивості оглядача / Безпека" потрібно встановити в стан "Низький". І нарешті, при завантаженні браузер видає лайливі повідомлення про відсутність сертифіката на цей об'єкт і невідомості автора. Якщо ці перешкоди Вас не лякають, то вперед: тисніть ліву кнопку миші!